高中数学手抄报

01
    一、正确地理解概念

    我国从20世纪50年代以来,中学数学教学大纲虽经历多次修订,但都有一个共同的指导思想,这就是搞好三基。并强调指出,正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。而当前我国数学教学中的突出问题,恰好是把掌握数学基础,即数学概念的正确理解,给忽视了。一方面是教材低估了学生的理解能力,为了“减负”,淡化甚至回避一些较难理解的基本概念;另一方面,“题海战术”式的应试策略,使教师没有充分的时间和精力去钻研如何使学生深入理解基本的数学概念。说是为了减负,其实南辕北辙,老师、学生的压力都增加了。

    没有“过程”的教学,因为缺乏数学思想方法为纽带,概念间的关系无法认识,概念间的联系难以建立,导致学生的数学认知结构缺乏整体性。

    二、对不同的概念,要采取不同的方法

    有的只需在例题教学中实施概念教学。比如:相关关系的概念是描述性的,不必追求形式化上的严格。建议采用案例教学法。对比函数关系,重点突出相关关系的两个本质特征在:关联性和不确定性。

    有的先介绍概念产生的背景,然后通过与概念有明显联系、直观性强的例子,使学生在对具体问题的体验中感知概念,提炼出本质属性。

    有的要联系其它概念,借助多媒体等一些辅助设施进行直观教学。

    三、在新旧概念之间掌握概念

    数学中有许多概念都有着密切的联系,如平行线段与平行向量、平面角与空间角、方程与不等式、映射与函数、对立事件与互斥事件等等,在教学中应善于寻找、分析其联系与区别,有利于学生掌握概念的本质。再如,函数概念有两种定义,一种是初中给出的定义,是从运动变化的观点出发,其中的对应关系是将自变量的每一个取值,与唯一确定的函数值对应起来:另一种是高中给出的定义,是从集合、对应的观点出发,其中的对应关系是将原象集合中的每一个元素与象集合中唯一确定的元素对应起来。

    从历史上看,初中给出的定义来源于物理公式,而函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,函数可用图像、表格、公式等表示,所以高中用集合与对应的语言来刻画函数,抓住了函数的本质属性,更具有一般性。新东方优能中学专家认为分析两种函数定义,其定义域与值域的含义完全相同,对应关系本质也一样,只不过叙述的出发点不同,所以两种函数的定义,本质是一致的。当然,对于函数概念真正的认识和理解是不容易的,要经历一个多次接触的较长的过程。

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02
    球面上的几何

    通过丰富的实际问题(如测量、航空、卫星定位),体会引入球面几何知识的必要性。

    通过球面图形与平面图形的比较,感受球面几何与欧氏平面几何的异同。例如,球面上的大圆相当于平面上的直线,球面上两点之间的最短距离是大圆弧的劣弧部分,球幂定理。

    体会球面具有类似平面的对称性质。

    了解球面上的一些基本图形:大圆、小圆、球面角、球面二角形(月形)、极与赤道、球面三角形、球面三角形的极对称三角形(简称球极三角形)。

    通过球面几何与欧氏平面几何比较,探索欧氏平面图形的哪些性质能推广到球面上,并说明理由,由此理解球面三角形的全等定理s.s.s,s.a.s,a.s.a。

    理解单位球面三角形的面积公式( ),由此体会球面三角形内角和大于180°。

    了解球面三角形全等的a.a.a定理。

    利用球面三角形面积公式证明欧拉公式,体验球面几何与拓扑学的关系。

    利用向量的叉乘(向量积)探索并证明球面余弦定理( )和球面上的勾股定理(即当 时的球面余弦定理),能从球面的余弦定理推导出球面的正弦定理 。

    体会当球面半径无限增大时,球面接近于平面,球面的三角公式就变成相应的平面三角公式。

    初步了解另一种非欧几何模型——庞加莱模型。

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03
    对称与群

    通过丰富的对称图形,体验日常生活和现实世界中存在着大量对称现象与总的特点。

    了解刚体运动的基本性质和规律。

    通过分析图形的不同对称性和刚体运动,寻求刻画不同图形对称性的思想,逐步形成图形对称变换的概念。

    找出其所有对称变换。

    逐步形成对称变换合成的概念,理解对称变换合成的封闭性。

    通过操作认识对称变换满足结合律。

    通过操作,理解恒等变换的概念,逆变换的概念及其性质,针对具体的图形能找出一个对称变换的逆变换。

    建立变换群的概念,并初步了解抽象群的概念。

    能借助几何直观求出一些几何图形和具有一定对称性的简单化学分子模型的对称群。

    了解一种群的表示方法——乘法表示法。

    了解一种由较为简单群构造出较为复杂群的方法——直积。

    了解群论在现实生活中的重要应用,如晶体分类定理。

    考察其他形式的对称变换,如代数式。通过二次、三次方程的求解过程,了解代数方程根的对称群的含义,并了解伽罗瓦利用群论方法解决方程根式解问题的科学史实,感受群论在现代数学中的重大作用。

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04
    数列与差分

    数列的差分

    通过一些具体实例,理解数列差分的概念。

    理解数列的一、二阶差分以及它们对描述数列变化的意义,结合数列(作为函数)的图象,了解差分与数列的增减、极值、数列图象的凹凸的关系。

    一阶线性差分方程

    通过一些具体实例,体会方程 是十分有用的数学模型。

    理解方程 中,当b=0(即方程为齐次方程)时,其解为等比数列;当k=1(即差分为常数)时,其解为等差数列。

    认识方程 的通解、特解,了解方程的解与相应的齐次方程 通解的关系;能给出方程 的通解公式。

    (二元)一阶线性差分方程组

    通过一些实例,认识一阶线性差分方程组是描述现实世界的一个重要模型。

    了解一阶线性差分方程组的通解、特解与其相应齐次方程组通解的关系。

    给定初值,会用迭代法求一阶线性差分方程组的解;能写出求解的算法框图。

    对给定的具体方程组,能初步讨论当n→∞时,解(数列)的变化趋势(收敛、发散、周期)。

    通过具体实例(如种群增长等),体会方程 是十分有用的数学模型。借助计算工具,用迭代法分别对k取一些特殊值(如0<k≤1,1<k≤3,k=3.4,k=3.55,k=3.7)的情形,讨论 的变化,初步了解非线性问题的复杂性。

    应用

    学会用差分方程和差分方程组解决一些简单的实际问题。

    初步体会连续变量离散化的思想,能用它来讨论一些简单的问题。

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05
    初等数论初步

    认识带余除法,理解同余和剩余类的概念及意义,探索剩余类的运算性质(加法和乘法),并且理解它的实际意义。体会剩余类运算与传统的数的运算的异同(会出现零因子)。

    理解整除、因数和素数的概念,了解确定素数的方法(筛法),知道素数有无穷多。

    了解十进制表示的整数的整除判别法,探索整数能被3、9、11、7等整除的判别法。会检查整数加法、乘法运算错误的一种方法。

    探索利用辗转相除法求两个整数的最大公约数的方法,理解互素的概念,并能用辗转相除法证明:若a能整除bc,且a,b互素,则a能整除c。探索公因数和公倍数的性质。了解算术基本定理。

    理解一次不定方程的模型,利用辗转相除法求解一次不定方程。并尝试写出算法程序框图,在条件允许的情况下,可上机实现。

    通过实例(如韩信点兵),理解一次同余方程组模型。

    理解大衍求一术和孙子定理的证明。

    理解费马小定理和欧拉定理及其证明。

    费马小定理:当m是素数,a、m互素时, 。

    欧拉定理:当a、m互素时, ,其中 是 中与m互素的数的个数。

    了解数论在密码中的应用——公开密钥。